Butterworth Filter Theorie

Derivation

Maßgabe: Amplitudenfrequenzgang soll im Durchlass- und Sperrbereich glatt sein. Dies wird erfüllt durch Polynome der Form

\begin{matrix} (1) & G (ω) = \frac{G_{0}}{\sqrt{1 + {(\frac{ω}{ω_{c}})}^{2 N}}} . \end{matrix}

Wir definieren den Betrag der Übertragungsfunktion nun als

\begin{matrix} (2) & {| \underset{―}{H} (j ω) |}^{2} \overset{!}{=} \frac{G_{0}}{\sqrt{1 + {(\frac{j ω}{j ω_{c}})}^{2 N}}} . \end{matrix}

Wichtige Eigenschaften von Systemfunktionen sind

\begin{aligned} (3) & {| \underset{―}{H} (s) |}^{2} & = \underset{―}{H} (s) \cdot \overset{―}{\underset{―}{H} (s)} \\ (4) & \underset{―}{H} (- j ω) & = \overset{―}{\underset{―}{H} (j ω)} \end{aligned}

Daraus folgt nun für unsere Systemfunktion

\underset{―}{H} (s)

\begin{array}{r} (5) & {| \underset{―}{H} (s) |}^{2} = \frac{G_{0}^{2}}{1 + {(\frac{s^{2}}{j^{2} ω_{c}^{2}})}^{N}} = \frac{G_{0}^{2}}{1 + {(- \frac{s^{2}}{ω_{c}^{2}})}^{N}} . \end{array}

Um das Nennerpolynom aufzustellen bestimmen wir die Nullstellen im Nenner

\begin{aligned} (6) & \sqrt[N]{- 1} = {(- 1)}^{\frac{1}{N}} & = e^{j π (2 n - 1) / N} \\ (7) & s_{n} = p_{n} = \pm \sqrt{- ω_{c}^{2} e^{j π (2 n - 1) / N}} & = \pm ω_{c}^{2} e^{j π (2 n + N - 1) / (2 N)} \end{aligned}

Die daraus resultierenden Polstellen

p_{n}

mit

n = 1. . N

sind in der

s

-Ebene in einem Kreis mit dem Radius

ω_{c}

und gleichem Winkel zwischeneinander angeordnet.

Normierung:

ω_{c} = 1

rad/s
Die Polstellen befinden sich nun bei

\begin{aligned} (8) & p_{1, 2, norm} & = - \frac{1}{\sqrt{2}} \pm \frac{1}{\sqrt{2}} j \\ (9) & {\underset{―}{H}}_{2, norm} (s) = \frac{1}{(s - p_{1}) (s - p_{2})} & \overset{s \to \frac{s}{ω_{c}}}{⟹} {\underset{―}{H}}_{2} (s) = \frac{1}{(\frac{s}{ω_{c}} - p_{1}) (\frac{s}{ω_{c}} - p_{2})} \\ (10) & {\underset{―}{H}}_{2} (s) = \frac{ω_{c}^{2}}{s^{2} - ω_{c} s (p_{1} + p_{2}) + ω_{c}^{2} p_{1} p_{2}} & = \frac{ω_{c}^{2}}{s^{2} + \sqrt{2} ω_{c} s + ω_{c}^{2}} \\ (11) & p_{1, 2} & = ω_{c} \cdot p_{1, 2, norm} \end{aligned}